Диск Пуанкаре

Двумерное пространство Римана – это сфера. А вот двумерное пространство Лобачевского является бесконечным и не имеет наглядных аналогов. Один из способов «заглянуть» в пространство Лобачевского и изучать его – диск Пуанкаре. Это отображение бесконечного двумерного пространства Лобачевского в конечный плоский диск (находящийся на обычной, евклидовой плоскости). «Прямые линии» в пространстве Лобачевского выглядят в диске Пуанкаре как дуги, а одинаковые объекты кажутся разного размера. Граница диска изображает точки, находящиеся бесконечно далеко.

Заполнение многоугольниками

Евклидову плоскость можно плотно заполнить шестиугольниками, получатся пчелиные соты. Семиугольники или восьмиугольники так разместить не получается – они «не помещаются». Но в пространстве Лобачевского это возможно. Например, можно заполнить всё бесконечное пространство восьмиугольниками, которые не будут накладываться друг на друга. На изображении через диск Пуанкаре восьмиугольники кажутся разными и искривлёнными, но «в действительности» они все одинаковые и состоят из «прямых линий».

Если вместо прямых линий использовать изогнутые отрезки, то можно превратить восьмиугольники в более сложные фигуры.

Интерактивность: перемещение диска Пуанкаре

При использовании диска Пуанкаре можно «направить его центр» в разные точки пространства Лобачевского. Результат отображения будет разный: от этого зависит, какие объекты будут изображены в центре диска и будут казаться большими, а какие, наоборот, окажутся ближе к краю и будут казаться уменьшенными. Двигая центр диска Пуанкаре по пространству Лобачевского, или, что то же самое, «прокручивая» пространство под диском, можно получить непрерывную анимацию.

Использование WebGL

WebGL – технология, позволяющая создавать высококачественные анимации в реальном времени, используя возможности аппаратного 3D-ускорения (OpenGL). Поддержка WebGL реализована во всех современных веб-броузерах, что позволяет использовать 3D-графику в Интернете без необходимости что-либо дополнительно устанавливать на компьютер.

Приведённая здесь демонстрация использует всего одно изображение птицы. Специальный шейдер (алгоритм, исполняемый на видеокарте) размножает это изображение, искривляет его согласно формулам диска Пуанкаре и перекрашивает в разные цвета. Когда пользователь двигает изображение мышкой или пальцем, скрипт вычисляет смещение диска Пуанкаре и отправляет эти значения в видеокарту. Поскольку рисование изображения производится на видеокарте, можно отображать сложную анимацию в реальном времени, не ограничиваясь скоростью работы обычных скриптов.

И всё-таки это мне что-то напоминает...

Разумеется, на создание этой демонстрации меня вдохновило творчество Эшера.

Голландский художник Мауриц Корнелис Эшер интересовался художественной стороной математики и геометрии. В частности, несколько его картин изображают разбиение пространства Лобачевского с помощью диска Пуанкаре, самые известные из них – Circle Limit III и Circle Limit IV. Эшер тоже заменял правильные многоугольники сложными фигурами – рыбами, ящерицами, ангелами и демонами.

В моей демонстрации намеренно использована более сложная и асимметричная фигура птицы, поэтому в общем результате симметрия получилась довольно сложная и на первый взгляд незаметная. В картинах Эшера симметрия всегда наглядна, и нетрудно определить, на каких многоугольниках она основана.

Ну и ещё Эшер рисовал свои картины вручную (или даже вырезал на дереве) и, конечно, не мог использовать компьютерную анимацию.

Где бы ещё посмотреть анимированные картины Эшера и ещё что-нибудь похожее?

Голландские математики проанализировали картину Эшера «Картинная галерея» в 2003 году на своём сайте. В 2009 году шведский программист реализовал их алгоритм с помощью WebGL; в 2014 году голландский программист создал другую WebGL-реализацию.

На сайте другого шведского программиста можно создавать и двигать интерактивные разбиения гиперболической плоскости, отображённые с помощью диска Пуанкаре, а также почитать много интересного про геометрию Лобачевского. Другая демонстрация позволяет разбиение евклидовой плоскости на правильные многоугольники превратить в произвольные фигуры.

К демонстрации